关于排除平面子式的树宽的线性界
组合数学
2026-01-16 v1
摘要
图子式理论的基本结果之一是：对于每个平面图H，存在一个最小整数f(H)，使得不包含同构于H的子式的图的树宽至多为f(H)。f(H)的下界可以通过考虑H包含的最大顶点不相交环数k来获得。存在一个树宽为Ω(k log k)的图，它不包含k个顶点不相交环，由此得出f(H)=Ω(k log k)。特别地，如果对于平面图子类中的图H，f(H)关于|V(H)|是线性的，那么该类中n顶点图最多包含O(n/log(n))个顶点不相交环。我们询问这是否也是充分条件，并证明对于具有有界组件大小的平面图类，这是正确的。对于由r个环的不交并构成的n顶点图H，我们证明f(H) ≤ 3n/2 + O(r^2 log r)，并在r=2时改进为f(H) ≤ n + O(√n)。特别地，当r=O(√n/log(n))时，该界是线性的。当H是任意常数r的r边平面图的细分时，我们给出了f(H)的线性界。我们还改进了当H是轮图或4×4网格时f(H)的已知最佳界，后者得到了160的界。
引用
@article{arxiv.2402.17255,
title = {Linear bounds on treewidth in terms of excluded planar minors},
author = {J. Pascal Gollin and Kevin Hendrey and Sang-il Oum and Bruce Reed},
journal= {arXiv preprint arXiv:2402.17255},
year = {2026}
}
备注
18 pages