排除子式图的基座数

图 $G$ 的基座数是指最小整数 $k$，使得 $G$ 的圈空间由一个圈族生成，且每条边在该圈族中最多使用 $k$ 次。Mac Lane 的一个经典结论指出，平面图恰好是基座数至多为 2 的图，更一般地，已知嵌入在亏格有界的固定曲面上的图具有有界的基座数。对此进行推广，我们证明了排除固定子式 $H$ 的图具有有界的基座数。我们的证明使用了图子式结构定理，这要求我们理解基座数在树分解中的行为。特别地，我们证明了树宽为 $k$ 的图的基座数被某个关于 $k$ 的函数所界定。我们使用 Boja\'nczyk 和 Pilipczuk 在其 Courcelle 猜想证明中开发的证明框架来处理树分解。将我们的方法与 Miraftab、Morin 和 Yuditsky（2025）关于基座数和路径分解的独立结果相结合，还可以将我们的上界改进为多项式上界：存在一个绝对常数 $c>0$，使得每个无 $H$ 子式图的基座数为 $O(|H|^c)$。