大 ${\theta}_r$-围长图中的子式

对于每个 $r \in \mathbb{N}$，令 $\theta_r$ 表示具有两个顶点和 $r$ 条平行边的图。图 $G$ 的 $\theta_r$-围长是 $G$ 中可收缩为 $\theta_r$ 的子图的最少边数。此概念推广了通常的围长概念，后者对应于 $r=2$ 的情形。在 [Minors in graphs of large girth, Random Structures & Algorithms, 22(2):213--225, 2003] 中，K"uhn 和 Osthus 证明了具有足够大最小度的图包含其阶为围长指数函数的团子式。我们将此结果推广到 $\theta_{r}$-围长的情形，并证明最小度可由某种连通性度量替代。作为结果的应用，我们证明，对于每个固定的 $r$，排除 $k$ 个 $\theta_{r}$ 的不相交并作为子式的图具有 $O(k\cdot \log k)$ 的树宽。