图树宽与几何厚度参数

考虑图 $G$ 在平面中的一种画法，使得交叉边被着以不同颜色。在所有 $G$ 的画法中，颜色数的最小值即为经典的图参数“厚度”。通过限制边为直线段，我们得到“几何厚度”。进一步限制顶点处于凸位置，我们得到“书厚度”。本文研究这些参数与树宽之间的关系。我们的第一个主要结果表明，对于树宽为 $k$ 的图，最大厚度与最大几何厚度均等于 $\lceil{k/2}\rceil$。这说明厚度的下界可以由上界匹配，即便在更具限制性的几何设定下也是如此。我们的第二个主要结果表明，对于树宽为 $k$ 的图，最大书厚度在 $k \leq 2$ 时等于 $k$，在 $k \geq 3$ 时等于 $k+1$。这反驳了 Ganley 与 Heath [Discrete Appl. Math. 109(3):215-221, 2001] 的一个猜想。对外厚度、 Arboricity（森林度）与星森林度也得到了类似结果。