有界度量维数图的极值结果

度量维数是一个受机器人导航、药物设计和图像处理问题启发的图参数。本文中，我们回答了（Geneson, Metric dimension and pattern avoidance, Discrete Appl. Math. 284, 2020, 1-7）中关于度量维数与图模式避免的几个开放极值问题。具体而言，我们构造了一类新图族，使我们能够确定度量维数至多为 $k$ 的图的最大可能度、度量维数至多为 $k$ 的图的最大可能退化数、度量维数至多为 $k$ 的图的最大可能色数，以及存在包含 $K_{n, n}$ 的度量维数至多为 $k$ 的图的最大 $n$。我们还研究了一种称为边度量维数的度量维数变体，并通过证明当 $n \geq d^{d-1}$ 时 $P_n^{d}$ 的边度量维数为 $d$，对同篇论文中 $n$ 足够大时的另一问题给出解答。此外，我们使用概率论证在该论文的另一个开放问题上取得进展，证明边度量维数至多为 $k$ 的图的最大可能团数为 $2^{\Theta(k)}$。我们还通过寻找新的三元组族 $(x, y, n)$（对其存在度量维数为 $x$、边度量维数为 $y$、阶为 $n$ 的图）在（N. Zubrilina, On the edge dimension of a graph, Discrete Math. 341, 2018, 2083-2088）的一个问题上取得进展。特别地，我们证明对每个整数 $k > 0$，存在图 $G$ 满足度量维数 $k$、边度量维数 $3^k(1-o(1))$、阶 $3^k(1+o(1))$。