平面图族的度量维数界限

度量维数概念在化学、机器人导航和组合优化等多种领域有应用。我们展示具有 $n$ 个顶点和度量维数 $\beta$ 的图的界限。对于哈密顿外平面图，我们有 $\beta \leq \left\lceil\frac{n}2\right\rceil$；对于一般外平面图，我们有 $\beta \leq \left\lfloor\frac{2n}{3}\right\rfloor$；对于极大平面图，我们有 $\beta \leq \left\lfloor\frac{3n}{4}\right\rfloor$。我们还展示了双锥体具有度量维数 $\left\lfloor\frac{2n}{5}\right\rfloor + 1$。推测一般极大平面图的度量维数量级为 $\left\lfloor\frac{2n}{5}\right\rfloor$。