在图上利用相对距离查询近似定位不可见智能体

在一个有限、简单、无向且连通的图 $G$ 上的追逃游戏中，第一名玩家依次访问 $G$ 的顶点 $m_1,m_2,\ldots$，其中对每个 $i$ 有 $m_{i+1}$ 位于 $m_i$ 的闭邻域中；第二名玩家探测 $G$ 的任意顶点 $c_1,c_2,\ldots$，并获知 $c_{i+1}$ 与 $m_{i+1}$ 之间的距离是否不超过 $c_i$ 与 $m_i$ 之间的距离。第二名玩家能确定第一名玩家位置的距离 $d$ 最大为多少？对于具有有界最大度数的树与网格，我们证明 $d$ 被某个常数所界。我们猜想对每个阶为 $n$ 的图 $G$ 有 $d=O(\log n)$，并证明若仅当 $i$ 为某个充分大整数的倍数时 $m_{i+1}$ 才可与 $m_i$ 不同，则 $d=0$。