图上带路径约束的警察与盗贼问题

2019 年，Sivaraman 猜想每一个 $P_k$-free 图的警察数至多为 $k-3$。同年，Liu 证明了该猜想对 $(P_k,\text{claw})$-free 图成立。最近，Chudnovsky、Norin、Seymour 和 Turcotte 证明了该猜想对 $P_5$-free 图成立。对于 $k\geq 6$，该猜想仍在广泛开放状态。令 $E$ 图为两条边都加点后的臂狗图。我们证明所有 $(P_k,E)$-free 图的警察数至多为 $\lceil \frac{k-1}{2} \rceil +3$，这改进并推广了 Liu 对 $(P_k,\text{claw})$-free 图的结果。我们还证明若图 $G$ 中最长路径长度为 $p$，则 $G$ 的警察数至多为 $\lceil \frac{2p}{3} \rceil+3$。这改进了 Joret、Kami\'nski 和 Theis 的下界。我们的证明依赖于展示所有 $(P_k,\text{claw},\text{butterfly},C_4,C_5)$-free 图的警察数至多为 $\lceil\frac{k-1}{3}\rceil +3$。