稠密图上均匀生成树的局部极限

设 $G$ 为一个连通图，其中几乎所有顶点具有线性度，并设 $T$ 为 $G$ 的一个均匀生成树。对于任意固定的高度为 $r$ 的有根树 $F$，我们计算了满足 $T$ 中围绕 $v$ 的 $r$-球同构于 $F$ 的顶点 $v$ 的渐近密度。我们由此推得，若 $\{G_n\}$ 是收敛到图函数（graphon）$W$ 的此类图序列，则 $G_n$ 的均匀生成树局部收敛到由 $W$ 定义的多类型分支过程。作为一个应用，我们证明在具有线性最小度的图中，以高概率，均匀生成树中叶子的密度至少为 $1/e-o(1)$，度为 $2$ 的顶点的密度至多为 $1/e+o(1)$，度 $k\geq 3$ 的顶点的密度至多为 ${(k-2)^{k-2} \over (k-1)! e^{k-2}} + o(1)$。这些界是紧的。