关于平面图谱极值问题

平面图的谱极值问题在过去三十年中引起了广泛关注。1991 年，Boots 和 Royle [Geogr. Anal. 23(3) (1991) 276--282]（以及 Cao 和 Vince [Linear Algebra Appl. 187 (1993) 251--257] 独立地）猜想 $K_2 + P_{n-2}$ 是所有 $n$ 顶点平面图中达到最大谱半径的唯一图，其中 $K_2 + P_{n-2}$ 是通过在 $K_2\cup P_{n-2}$ 之间添加所有可能的边而得到的图。2017 年，Tait 和 Tobin [J. Combin. Theory Ser. B 126 (2017) 137--161] 证实了该猜想对所有充分大的 $n$ 成立。在本文中，我们考虑了不含指定子图的平面图的谱极值问题。对于固定图 $F$，令 $\mathrm{SPEX}_{\mathcal{P}}(n,F)$ 表示在所有 $n$ 顶点 $F$-free 平面图中达到最大谱半径的图集合。当 $F$ 是不包含在 $K_{2,n-2}$ 中的平面图时，我们描述了 $\mathrm{SPEX}_{\mathcal{P}}(n,F)$ 中连通极值图的大致结构。作为应用，我们确定了 $\mathrm{SPEX}_{\mathcal{P}}(n,W_k)$、$\mathrm{SPEX}_{\mathcal{P}}(n,F_k)$ 和 $\mathrm{SPEX}_{\mathcal{P}}(n,(k+1)K_2)$ 中的极值图（对所有充分大的 $n$），其中 $W_k$、$F_k$ 和 $(k+1)K_2$ 分别是 $k$ 阶轮图、$2k+1$ 阶友谊图和 $k+1$ 个 $K_2$ 副本的不交并。