无顶点不交圈的平面图极值谱结果

给定平面图族 $\mathcal{F}$，令 ${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,\mathcal{F})$ 和 ${\rm spex}_{\mathcal{P}}(n,\mathcal{F})$ 分别为所有 $n$ 顶点无 $\mathcal{F}$ 平面图中最大边数和最大谱半径。令 $tC_{\ell}$ 为 $\ell$ 圈 $t$ 个拷贝的不交并，$t\mathcal{C}$ 为无长度限制的 $t$ 个顶点不交圈组成的族。Tait 与 Tobin [Three conjectures in extremal spectral graph theory, J. Combin. Theory Ser. B 126 (2017) 137--161] 确定 $K_2+P_{n-2}$ 是充分大阶 $n$ 的所有平面图中的极值谱图，这意味着对 $t\geq 3$，${\rm spex}_{\mathcal{P}}(n,tC_{\ell})$ 和 ${\rm spex}_{\mathcal{P}}(n,t\mathcal{C})$ 的极值图均为 $K_2+P_{n-2}$。本文首先确定 $1\leq t\leq 2$、$\ell\geq 3$ 且 $n$ 充分大时的 ${\rm spex}_{\mathcal{P}}(n,tC_{\ell})$ 与 ${\rm spex}_{\mathcal{P}}(n,t\mathcal{C})$，并刻画了唯一的极值图。其次，我们得到 ${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,2C_4)$ 和 ${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,2\mathcal{C})$ 的精确值，解决了 Li [Planar Tur\'an number of the disjoint union of cycles, Discrete Appl. Math. 342 (2024) 260--274] 在 $n\geq 2661$ 时的一个猜想。