图的边扩张的谱极值结果

设 ${\rm ex}(n,F)$ 和 ${\rm spex}(n,F)$ 分别为阶为 $n$ 的无 $F$ 图的的最大边数和最大谱半径。值 ${\rm spex}(n,F)$ 称为 $F$ 的谱极值。Nikiforov [J. Graph Theory 62 (2009) 362--368] 给出了谱稳定性引理，其表明对每 $\varepsilon>0$、充分大的 $n$ 以及色数为 $\chi(H)$ 的非二部图 $H$，关于 ${\rm spex}(n,H)$ 的极值图可由 Tur\'{a}n 图 $T_{\chi(H)-1}(n)$ 通过增加和删除至多 $\varepsilon n^2$ 条边得到。确定许多非二部图的精确谱极值仍是一个具有挑战性的问题。给定图 $F$ 和整数 $p\geq 2$，$F$ 的边扩张（记为 $F^{p+1}$）是将 $F$ 的每条边替换为 $K_{p+1}$ 所得的图，其中 $K_{p+1}$ 的新顶点均互不相同。本文确定了所有非二部图的边扩张的精确谱极值，并给出了所有二部图的边扩张在充分大 $n$ 时的渐近谱极值，这可视为 Yuan [J. Combin. Theory Ser. B 152 (2022) 379--398] 关于 ${\rm ex}(n,F^{p+1})$ 定理的谱版本。作为应用，一方面，我们推广了先前关于 $F$ 为匹配和星图且 $p\geq 3$ 时 ${\rm spex}(n,F^{p+1})$ 的若干结果；另一方面，我们得到了 $F$ 为路、圈和完全图时 ${\rm spex}(n,F^{p+1})$ 的精确值。