关于树的谱极值结果

令 ${\rm spex}(n,F)$ 为所有 $n$ 阶无 $F$ 图的最大谱半径，${\rm SPEX}(n,F)$ 为谱半径等于 ${\rm spex}(n,F)$ 的 $n$ 阶无 $F$ 图族。给定整数 $n,k,p$，满足 $n>k>0$ 且 $0\leq p\leq \lfloor(n-k)/2\rfloor$，令 $S_{n,k}^{p}$ 为在 $K_k\nabla(n-k)K_1$ 的独立集内嵌入 $p$ 条独立边所得的图，其中 `$\nabla$' 表示图的联运算。对于 $n\geq\ell\geq 4$，若 $\ell$ 为偶数，令 $G_{n,\ell}=S_{n,(\ell-2)/2}^{0}$；若 $\ell$ 为奇数，令 $G_{n,\ell}=S_{n,(\ell-3)/2}^{1}$。Cioabă、Desai 和 Tait [SIAM J. Discrete Math. 37 (3) (2023) 2228--2239] 证明，对于 $\ell\geq 6$ 且 $n$ 充分大，若 $\rho(G)\geq \rho(G_{n,\ell})$，则 $G$ 包含所有 $\ell$ 阶树，除非 $G=G_{n,\ell}$。他们进一步提出研究各种特定树 $F$ 的 ${\rm spex}(n,F)$ 的问题。固定一棵阶为 $\ell\geq 6$ 的树 $F$，令 $A$ 和 $B$ 为 $F$ 的两个部集，满足 $|A|\leq |B|$，并设 $q=|A|-1$。我们首先证明，对于 $q\geq 1$ 且 $n$ 充分大，${\rm SPEX}(n,F)$ 中的任何图都包含一个生成子图 $K_{q,n-q}$。由此得到 $\rho(K_{q,n-q})\leq {\rm spex}(n,F)\leq \rho(G_{n,\ell})$，我们进一步分别刻画了使这两个等号成立的所有树 $F$。其次，我们刻画了一些特定树的谱极值图，并给出了其余树的渐近谱极值。特别地，我们刻画了所有蜘蛛图的谱极值图，令人惊讶的是，极值图并非总是 $G_{n,\ell}$ 的生成子图。