关于 $\ell$-环的 $t$ 个副本的谱极值问题

记 $tC_\ell$ 为 $\ell$ 长环的 $t$ 个不相交并集。令 $ex(n,F)$ 与 $spex(n,F)$ 分别为所有 $n$ 顶点无 $F$ 图中最大边数与最大谱半径。本文中，我们将关注 $ex(n,tC_\ell)$ 与 $spex(n,tC_\ell)$ 的研究。一方面，我们确定了 $ex(n,tC_{2\ell+1})$ 并刻画了任意整数 $t,\ell$ 且 $n\ge f(t,\ell)$ 时的极值图，其中 $f(t,\ell)=O(t\ell^2)$。这推广了 Erd\H{o}s 关于 $ex(n,tC_3)$ 的结果 [Arch. Math. 13 (1962) 222--227] 以及 F\"{u}redi 和 Gunderson 关于 $ex(n,C_{2\ell+1})$ 的研究 [Combin. Probab. Comput. 24 (2015) 641--645]。另一方面，我们聚焦于谱 Tur\'{a}n 型函数 $spex(n,tC_{\ell})$，并确定任意固定 $t,\ell$ 且 $n$ 足够大时的极值图。我们的结果不仅推广了 Nikiforov 关于三角形、四边形与一般奇环的一些经典谱极值结果，也发展了 Nikiforov（2010）提出并由 Cioab\u{a}、Desai 和 Tait（2022）证实的著名谱偶环猜想。