关于图的 $\alpha$-谱半径

对于 $0\le \alpha\le 1$，Nikiforov 提出研究图 $G$ 的矩阵族 $A_{\alpha}(G)=\alpha D(G)+(1-\alpha)A(G)$ 的谱性质，其中 $D(G)$ 为度对角矩阵，$A(G)$ 为邻接矩阵。$G$ 的 $\alpha$-谱半径是 $A_{\alpha}(G)$ 的最大特征值。我们分别给出了最大度 $\Delta\ge 2$ 的单圈图 $G$、给定最大度及其他一些图参数的连通非正则图、以及给定控制数的图的 $\alpha$-谱半径上界。我们确定了树上 $\alpha$-谱半径第二大的唯一树，以及给定直径树上 $\alpha$-谱半径最大的唯一树。对于在一个顶点或两个相邻顶点处带有两条悬挂路的图，我们证明了关于在悬挂路中重定位悬挂边时 $\alpha$-谱半径变化行为的结论。我们还分别确定了在树、单圈图和非二部图中，最大度与 $\alpha$-谱半径之差最大的唯一图。