关于树的 $A_{\alpha}$-谱

设 $G$ 为一个图，其邻接矩阵为 $A(G)$，并设 $D(G)$ 为 $G$ 的度数对角矩阵。对于任意实数 $\alpha\in\left[ 0,1\right]$，定义矩阵 $A_{\alpha}\left(G\right)$ 为 $$A_{\alpha}\left(G\right) =\alpha D\left(G\right) +(1-\alpha)A\left(G\right)$$ 其中 $0\leq\alpha\leq1$。本文给出了关于树的 $A_{\alpha}$-矩阵的几个结果。特别地，证明了如果 $T_{\Delta}$ 是最大度为 $\Delta$ 的树，那么 $A_{\alpha}(T_{\Delta})$ 的谱半径满足紧不等式 $$\rho(A_{\alpha}(T_{\Delta}))<\alpha\Delta+2(1-\alpha)\sqrt{\Delta-1}.$$ 此界推广了 Godsil、Lovász 和 Stevanović 先前的界。证明基于 Bethe 树和广义 Bethe 树的 $A_{\alpha}$-矩阵的一些新结果。此外，还证明了一般图的 $A_{\alpha}$ 谱半径的几个界，从而给出了路径和 Bethe 树的紧界。