关于限制加权邻接矩阵谱半径的极值树

对于图 $G=(V,E)$ 及 $v_{i}\in V$,记 $d_{i}$ 为顶点 $v_{i}$ 的度。令 $f(x, y)>0$ 为关于 $x$ 和 $y$ 的实对称函数。图 $G$ 的加权邻接矩阵 $A_{f}(G)$ 是一个方阵,其中若顶点 $v_{i}$ 与 $v_{j}$ 相邻,则 $(i,j)$ 元等于 $\displaystyle f(d_{i}, d_{j})$,否则为 0。Li 和 Wang \cite{U9} 试图统一研究由各种拓扑指标加权的图之加权邻接矩阵谱半径的方法。若 $\displaystyle f'_{x}(x, y)\geq0$ 且 $\displaystyle f''_{x}(x, y)\geq0$,则分别称 $\displaystyle f(x, y)$ 关于变量 $x$ 递增且凸。他们得到当 $f(x, y)$ 关于变量 $x$ 递增且凸时,具有最大 $A_{f}(G)$ 谱半径的树是星或双星。本文中,我们添加如下限制:若 $x_{1}+y_{1}=x_{2}+y_{2}$ 且 $\mid x_{1}-y_{1}\mid>\mid x_{2}-y_{2}\mid$,则 $f(x_{1},y_{1})\geq f(x_{2},y_{2})$,并称 $A_f(G)$ 为 $G$ 的限制加权邻接矩阵。该限制加权邻接矩阵包含了由第一 Zagreb 指标、第一超 Zagreb 指标、一般和连通度指标、遗忘指标、Somber 指标、$p$-Sombor 指标等加权的加权邻接矩阵。我们得到了具有最小和最大 $A_{f}(G)$ 谱半径的极值树。我们的结果推进了 Li 和 Wang 关于统一方法的研究。