复单位增益图能量的界与极值图

复单位增益图（$\mathbb{T}$-增益图）$\Phi=(G, \varphi)$是一种图，其中增益函数$\varphi$为$G$的每条边的每个定向分配一个单位复数，并为其反向定向分配其逆元。其关联的邻接矩阵$A(\Phi)$按规范定义。$\mathbb{T}$-增益图$\Phi$的能量$\mathcal{E}(\Phi)$定义为$A(\Phi)$所有特征值绝对值之和。对于任意具有最小顶点度$\delta$的连通无三角形$\mathbb{T}$-增益图$\Phi$，我们建立了下界$\mathcal{E}(\Phi)\geq 2\delta$并刻画了等号成立的情形。随后，我们给出了$\Phi$的特征多项式与匹配多项式之间的关系。利用此关系，我们获得了能量的上界$\mathcal{E}(\Phi)\leq 2\mu\sqrt{2\Delta_e+1}$，并刻画了使该界尖锐的图类，其中$\mu$和$\Delta_e$分别是$\Phi$的匹配数和最大边度。此外，对于任意单圈图$G$，我们研究了使得增益能量$\mathcal{E}(\Phi)$在所有定义于$G$上的$\mathbb{T}$-增益图中达到最大/最小值的增益。