复单位增益图的增益距离拉普拉斯矩阵

复单位增益图（或$\mathbb{T}$-增益图）$\Theta(\Sigma,\varphi)$是一个图，其中通过函数$\varphi$将单位复数分配给$\Sigma$的每条有向边，并将其逆分配给相反方向。在本文中，我们针对$\mathbb{T}$-增益图$\Theta(\Sigma,\varphi)$定义的两个增益距离矩阵$D^{\max}_{<}(\Theta)$和$D^{\min}_{<}(\Theta)$，对应于任意顶点序$(V(\Sigma),<)$，定义了两种增益距离拉普拉斯矩阵$DL^{\max}_{<}(\Theta)$和$DL^{\min}_{<}(\Theta)$。此外，我们给出了这些拉普拉斯矩阵奇异性特征的刻画，并找到了其秩的公式。我们还利用增益距离拉普拉斯矩阵建立了复单位增益图中平衡性的两种特征刻画。大多数结果是通过对加权$\mathbb{T}$-增益图进行更一般的证明而得到的。