复单位增益图能量的界

$\mathbb{T}$-增益图 $\Phi = (G, \varphi)$ 是一种图，其中函数 $\varphi$ 为每条边的每个定向赋予一个单位复数，并为相反定向赋予其逆。其伴随邻接矩阵 $A(\Phi)$ 按标准方式定义。$\mathbb{T}$-增益图 $\Phi$ 的能量 $\mathcal{E}(\Phi)$ 是 $A(\Phi)$ 所有特征值绝对值之和。我们研究 $\mathbb{T}$-增益图中顶点能量的概念，并为其建立界。对任意 $\mathbb{T}$-增益图 $\Phi$，我们证明 $2\tau(G)-2c(G) \leq \mathcal{E}(\Phi) \leq 2\tau(G)\sqrt{\Delta(G)}$，其中 $\tau(G), c(G)$ 和 $\Delta(G)$ 分别为 $G$ 的顶点覆盖数、奇圈个数和最大顶点度。此外，利用顶点能量的性质，我们刻画了满足 $\mathcal{E}(\Phi)=2\tau(G)-2c(G)$ 的 $\mathbb{T}$-增益图类。同时，我们刻画了满足 $\mathcal{E}(\Phi)= 2\tau(G)\sqrt{\Delta(G)}$ 的 $\mathbb{T}$-增益图类。该刻画解决了一个开放问题的一般版本。另外，我们依据伴随邻接矩阵的谱半径建立了能量的界。