复单位增益图的 $A{\alpha}$-特征值重数及其秩

设 $\Phi=(G, \varphi)$ 为具有 $n$ 个顶点且最大顶点度为 $\Delta$ 的简单图 $G$ 上的连通复单位增益图（$\mathbb{T}$-增益图）。其伴随矩阵与度矩阵分别记为 $A(\Phi)$ 和 $D(\Phi)$。对 $\alpha\in[0,1)$，令 $m_{\alpha}(\Phi,\lambda)$ 为 $\lambda$ 作为 $A_{\alpha}(\Phi) :=\alpha D(\Phi)+(1-\alpha)A(\Phi)$ 特征值的重数。本文确立 $m_{\alpha}(\Phi, \lambda)\leq \frac{(\Delta-2)n+2}{\Delta-1}$，并刻画了取等号时的图类。此外，我们基于最大顶点度和顶点数给出了 $A(\Phi)$ 秩的几个界。主要结果之一推广了无权图上的已知结论并简化了文献[15]中的证明，其余结果给出了优于文献[8]中界的对 $r(\Phi)$ 的更好估计。