图的拉普拉斯特征值为 1 的重数问题

设 $G$ 为一个图，记其悬垂顶点数为 $p(G)$，准悬垂顶点数为 $q(G)$。记 $m_{L(G)}(\lambda)$ 为 $G$ 的拉普拉斯特征值 $\lambda$ 的重数。设 $\overline{G}$ 为 $G$ 的缩减图，可通过删除部分悬垂顶点得到，使得 $p(\overline{G})=q(\overline{G})$。我们首先证明 $m_{L(G)}(1)=p(G)-q(G)+m_{L(\overline{G})}(1)$。由于删除悬垂路径 $P_3$ 不改变图的拉普拉斯特征值 1 的重数，我们进一步聚焦于不含悬垂路径 $P_3$ 的缩减图。设 $T$ 为一个在 $n(\geq 6)$ 个顶点的缩减树，则可证 $$m_{L(T)}(1)\leq \frac{n-6}{4},$$ 且所有达到上界的树被完全刻画。作为应用，对于一个在 $n\geq 10$ 个顶点的缩减单环图 $G$（不含悬垂路径 $P_3$），我们得到 $$m_{L(G)}(1)\leq \frac{n}{4},$$ 且所有达到上界的单环图被完全确定。