图拉普拉斯特征值“平台”现象猜想的证明

设 $G$ 为一个简单图。 $G$ 的悬垂路径是一条路径，其一端顶点度为1，另一端度 $\ge3$，且所有内部顶点度为2。设 $p_k(G)$ 为 $G$ 的长度为 $k$ 的悬垂路径数， $q_k(G)$ 为度 $\ge3$ 且作为某条长度为 $k$ 的悬垂路径端点的顶点数。受刻画树枝状树问题的启发，N. Saito 和 E. Woei 猜想任意图 $G$ 都有某个重数至少为 $p_k(G)-q_k(G)$ 的拉普拉斯特征值。我们证明了拉普拉斯和无符号拉普拉斯特征值的一个更一般的结果，该猜想由此得证。