树的拉普拉斯比率猜想的反例

对于无孤立点的图 $G$，其拉普拉斯比率定义为\n$$\pi(G)=\frac{\operatorname{per}(L(G))}{\prod_{v\in V(G)} d(v)},$$\n其中 $L(G)$ 为图 $G$ 的拉普拉斯矩阵，$d(v)$ 为顶点 $v$ 的度，$\operatorname{per}$ 表示永久。Brualdi 和 Goldwasser 询问在具有固定顶点数目的树 $T$ 中，$\pi(T)$ 的最大值是多少。Wu、Dong 和 Lai 最近提出了一个关于此问题的猜想答案。我们给出该猜想的无限族反例。