树中极大 dissociation set 数量的上界

设 $G$ 为一个简单图。$G$ 的 dissociation set 定义为一个顶点集，其导出子图中每个顶点的度数至多为 1。如果一个 dissociation set 不是任何其他 dissociation set 的真子集，则称其为极大的。我们引入记号 $\Phi(G)$ 来表示 $G$ 中极大 dissociation set 的数量。本研究聚焦于树，特别地证明了对于任意阶数为 $n\geq4$ 的树 $T$，以下不等式成立：$$\Phi(T)\leq 3^{\frac{n-1}{3}}+\frac{n-1}{3}.$$ 我们还确定了达到此上界的极值树。此外，为了建立阶数为 $n$ 的树中极大 dissociation set 数量的上界，我们还确定了阶数为 $n$ 的森林中极大 dissociation set 的第二大数量。