关于给定阶数和最大度数的树的最大 σ-不规则性
组合数学
2026-02-17 v1
摘要
图的 σ-不规则性指数定义为所有边上度数差的平方和，提供了结构异质性的敏感度量。本文研究在固定阶数 n 和给定最大度数 Δ≥4 的树中最大化 σ(T) 的问题。通过以边-度数重数表达问题，我们推导了线性规划模型并分析其对偶。该方法得到 σ(T) 的尖锐上界，并导致对极端度数-配对分布的详细描述。我们证明，当 n≡1 (mod Δ) 和 n≡0 (mod Δ) 时，极端问题可被完全解决。当 n≡1 (mod Δ) 时，线性规划 admits 一个积分最优解，σ(T) 的上界为紧致的。当 n≡0 (mod Δ) 时，线性松弛无法被任何树实现；尽管如此，通过引入由对偶松弛变量导出的惩罚函数，我们确定 σ(T) 的确切最大值。在这两种情况下，所有极端树都被显式地描述，其中仅包含度数为 1、2 和 Δ 的顶点，且与 Δ-顶点相关的边在其中发挥着主导作用。
引用
@article{arxiv.2602.14241,
title = {On the maximum $\sigma$-irregularity of trees with given order and maximum degree},
author = {Milan Bašić},
journal= {arXiv preprint arXiv:2602.14241},
year = {2026}
}