二叉树中距离与子树问题的若干极值比

在众多树的拓扑指标中，距离和 $\sigma(T)$ 与子树数 $F(T)$ 这一对图不变量因负相关性而长期为人所知。即在各类给定树中，使其一极大化的极值结构通常使另一极小化，反之亦然。通过引入这些不变量的“局部”版本——$\sigma_T(v)$ 表示 $v$ 到所有其他顶点的距离和，$F_T(v)$ 表示含 $v$ 的子树数——可在树内对顶点提出并研究极值问题。这引出了树相对于不同指标的“中部”概念。一个具有挑战性的问题是在中部或叶处寻找图指标与相应局部函数之比的极值。该问题也为进一步验证不同指标（如 $\sigma(T)$ 与 $F(T)$）间的相关性提供了新契机。此类极值比连同极值结构，已在一般树的距离与子树问题中被研究并比较。本文将此研究推广至二叉树——一类具有众多实际应用、其极值比问题显得更为复杂的树。在论证树与二叉树中距离和子树问题的一些基本性质后，给出了在给定阶二叉树中实现两个极值比的极值结构刻画。还将此工作对 $k$-叉树的推广作了简要讨论。所得结果与先前建立的一般树极值结构进行比较。最后提及一些潜在的未来工作。