斯坦纳距离与斯坦纳 $k$-维纳指数的极值

与简单有限图中顶点间距离相关的各种问题引起了极值图论学者的兴趣。$k$ 个顶点集合的斯坦纳距离是常规距离的自然推广。我们将关于树的中间部分和极值的几个定理从常规距离版本扩展到其斯坦纳距离版本。更具体地说，我们证明对于一棵树 $T$，斯坦纳 $k$-距离、斯坦纳 $k$-叶距离和斯坦纳 $k$-内部距离沿一条路径都是凹的。我们还计算了斯坦纳 $k$-中位数、斯坦纳 $k$-内部中位数和斯坦纳 $k$-叶中位数之间的距离。令顶点 $v \in V(T)$ 的斯坦纳 $k$-距离为 $\dd_k^T(v)$，我们基于 $T$ 的阶数找到了比值 $\frac{\dd^T_{k}(u)}{\dd^T_{k}(v)}$、$\frac{\dd^T_{k}(w)}{\dd^T_{k}(z)}$ 和 $\frac{\dd^T_{k}(u)}{\dd^T_{k}(y)}$ 的界，其中 $u$ 和 $v$ 是叶，$w$ 和 $z$ 是内部顶点，$y$ 是斯坦纳 $k$-形心。此外，将斯坦纳 $k$-维纳指数记为 $\mathsf{SW}_k(T)$，我们找到了 $\frac{\mathsf{SW}_k(T)}{\dd^G_{k}(v)}$ 的上界和下界。产生这些界的极值图也被给出。