树的 Harary 指数

图 $G$ 的 Harary 指数是近期引入的拓扑指数，基于反向距离矩阵定义为 $H(G)=\sum_{u,v \in V(G)}\frac{1}{d(u,v)}$，其中 $d(u,v)$ 是两个不同顶点 $u$ 和 $v$ 之间最短路径的长度。我们给出了基于 Harary 指数的星状树的偏序，并描述了具有第二大和第二小 Harary 指数的树。本文研究了具有 $k$ 个悬挂顶点的树的 Harary 指数，并确定了具有最大 Harary 指数的极值树。我们还根据度为 2 的顶点数、匹配数、独立数、半径和直径，刻画了具有最大 Harary 指数的极值树。此外，我们刻画了具有最小 Harary 指数且给定最大度的极值树。我们得出结论，在所有给出的类中，具有最大 Harary 指数的树恰好是具有最小 Wiener 指数的树，反之亦然。