关于加权 Szeged 指数的极值图

最近引入了著名的 Szeged 指数的一个扩展，命名为加权 Szeged 指数（$\textrm{sz}(G)$）。本文致力于刻画这一新拓扑不变量的极值树和极值图。特别地，我们证明了星图是具有最大 $\textrm{sz}(G)$ 的树。寻找具有最小 $\textrm{sz}(G)$ 的树并非易事。在此，我们给出通过计算机得到的至多 25 个顶点的最小树，并描述其中保留的规律性。我们的初步计算机测试表明，具有最小 $\textrm{sz}(G)$ 的树也是给定阶数的连通图中达到最小加权 Szeged 指数的图。此外，证明了在二部连通图中，完全平衡二部图 $K_{\left\lfloor n/2\right\rfloor\left\lceil n/2 \right\rceil}$ 达到最大 $\textrm{sz}(G)$。我们相信 $K_{\left\lfloor n/2\right\rfloor\left\lceil n/2 \right\rceil}$ 是给定阶数的连通图中达到最大 $\textrm{sz}(G)$ 的图。