关于第二 Zagreb 指数指数的极大树

第二 Zagreb 指数为 $M_2(G)=\sum_{uv\in E(G)}d_{G}(u)d_{G}(v)$。人们发现它出现在交替烃总 $\pi$ 电子能量的某些近似表达式中，并被诸多研究者用于其 QSPR 与 QSAR 研究。近来，基于顶点度数的拓扑指数的指数被引入。已知在所有具有 $n$ 个顶点的树中，第二 Zagreb 指数的指数 $e^{M_2}$ 在路 $P_n$ 处取得最小值。本文中，我们证明 $e^{M_2}$ 在具有 $n$ 个顶点的平衡双星处取得最大值，并解决了 Cruz 与 Rada 提出的一个开放问题 [R. Cruz, J. Rada, The path and the star as extremal values of vertex-degree-based topological indices among trees, MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 82 (3) (2019) 715-732]。