关于Zagreb指数的比较

设 $G=(V,E)$ 是一个具有 $n = |V|$ 个顶点和 $m = |E|$ 条边的简单图。第一和第二 Zagreb 指数是最古老且最著名的拓扑指数之一，定义为 $M_1 = \sum_{i \in V} d_i^2$ 和 $M_2 = \sum_{(i, j) \in E} d_i d_j$，其中 $d_i$ 表示顶点 $i$ 的度数。近期提出的猜想 $M_1 / n \leqslant M_2 / m$ 已被证明对树、单圈图和化学图成立，但在连通图和非连通图中均发现了反例。我们的目标有两个方面，既支持该猜想又反对它。首先，我们证明 $M_1/n$ 和 $M_2/m$ 具有相同的下界和上界，且等式成立当且仅当图为正则图。我们还建立了可变第一和第二 Zagreb 指数的紧下界。其次，我们证明对于任意固定的数 $k\geqslant 2$，存在一个具有 $k$ 个圈的连通图使得 $M_1/n>M_2/m$ 成立，这有效地表明除非对图中的圈数或最大顶点度数施加某种限制，否则该猜想无法成立。特别地，我们证明该猜想对细分图成立。