关于比较图的第一与第二 Zagreb 指数的猜想

设 $G$ 为一个图，其阶为 $n(G)$，边数为 $m(G)$，第一 Zagreb 指数为 $M_1(G)$，第二 Zagreb 指数为 $M_2(G)$。二十多年前，有人猜想 $\frac{M_1(G)}{n(G)} \leq \frac{M_2(G)}{m(G)}$。后来，Hansen 和 Vuki\v{c}evi\'c 证明该猜想对一般图不成立，但对化学图成立。本文作为对化学图研究的扩展，我们研究了最小度与最大度之差至多为 $3$ 的图。我们证明，此类图中作为上述猜想反例的任何图，其最小度必为 $2$ 且最大度必为 $5$。此外，我们给出了无限多个作为该猜想反例的连通图，它们的最小度均为 2，最大度均为 5，且阶至少为 218。