关于第二 Zagreb 指数的猜想

图 $G$ 的互补第二 Zagreb 指数定义为 $cM_2(G)=\sum_{uv\in E(G)}|(d_u(G))^2-(d_v(G))^2|$，其中 $d_u(G)$ 表示图 $G$ 中顶点 $u$ 的度数，$E(G)$ 表示图 $G$ 的边集。设 $G^*$ 为在所有秩为 $n$ 的连通图中 $cM_2$ 值最大的图。Furtula 和 Oz [MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 93 (2025) 247--263] 猜想 $G^*$ 是由秩为 $k$ 的完全图 $K_k$ 与秩为 $n-k$ 的补完全图 $\overline{K}_{n-k}$ 的并 $K_k+\overline{K}_{n-k}$，且满足不等式 $k<\lceil n/2 \rceil$。我们证明：(i) $G^*$ 的最大度数为 $n-1$；(ii) $G^*$ 中最小度数的两个顶点不相邻；这些结果均支持上述猜想。我们还证明了 $G^*$ 中最大度数顶点的个数 $k$ 最多为 $-\frac{2}{3}n+\frac{3}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{52n^2-132n+81}$，从而得到 $k<\frac{5352n}{10000}$。此外，我们在某些双度数和三度数图的情况下建立了支持该猜想的研究结果。在上述论文中，还提到确定 $k$ 作为 $n$ 的函数是极其困难的；我们通过使用计算机软件求得 $5\leq n\leq 149$ 某些双度数图中 $k$ 的值，发现这些 $k$ 值序列不存在于《整数序列在线百科全书》(The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) 中。