具有最大修正 Szeged 指数的双圈图

修正 Szeged 指数 $Sz^*(G)$ 定义为 $Sz^*(G)=\sum_{e=uv \in E}(n_u(e)+ n_0(e)/2)(n_v(e)+ n_0(e)/2),$ 其中 $n_u(e)$ 和 $n_v(e)$ 分别是图 $G$ 中距离顶点 $u$ 比距离顶点 $v$ 更近的顶点数，以及距离顶点 $v$ 比距离顶点 $u$ 更近的顶点数，$n_0(e)$ 则是到 $u$ 和 $v$ 距离相等的顶点数。Hansen 利用 AutoGraphiX 系统，对阶数 $n \geq 6$ 的连通双圈图 $G$ 的修正 Szeged 指数提出了如下猜想： Sz^*(G)\leq \{{array}{ll} (n^3+n^2-n-1)/4,& {若 $n$ 为奇数}, (n^3+n^2-n)/4, & {若 $n$ 为偶数}. {array}. 等号成立当且仅当 $G$ 是由圈 $C_{n-1}$ 通过复制单个顶点得到的图。本文旨在给出该猜想的一个证实性证明。