关于二分图的 Szeged 指数与 Wiener 指数之间的一种关系

图 $G$ 的 Wiener 指数 $W(G)$ 是图中所有顶点对之间距离的总和。图 $G$ 的 Szeged 指数 $Sz(G)$ 定义为 $Sz(G)=\sum_{e=uv \in E}n_u(e)n_v(e)$，其中 $n_u(e)$ 和 $n_v(e)$ 分别是图 $G$ 中距离顶点 $u$ 比距离顶点 $v$ 更近的顶点数，以及距离顶点 $v$ 比距离顶点 $u$ 更近的顶点数。Hansen 利用计算机程序 AutoGraphiX，针对具有 $n \geq 4$ 个顶点和 $m \geq n$ 条边的连通二分图 $G$，提出了关于 Szeged 指数与 Wiener 指数的如下猜想：$$Sz(G)-W(G) \geq 4n-8.$$ 此外，由一个 4 顶点圈 $C_4$ 和一个 $n-3$ 顶点的树 $T$ 共享单个顶点所构成的图表明，该界是最优的。本文旨在对该猜想给出肯定性证明。