关于边 Szeged 指数的若干有用引理

图 $G$ 的边 Szeged 指数定义为 $Sz_{e}(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)}m_{u}(uv|G)m_{v}(uv|G)$，其中 $m_{u}(uv|G)$（相应地，$m_{v}(uv|G)$）是到顶点 $u$（相应地，$v$）的距离小于到顶点 $v$（相应地，$u$）的距离的边的数目。本文中，我们刻画了在给定阶数和直径的所有单圈图中具有最小边 Szeged 指数的图。