最小化具有给定悬挂顶点数的树的基于度数的拓扑指数 + 勘误

我们推导了具有给定悬挂顶点数的树和化学树的第一和第二 Zagreb 指数（分别为 $M_1$ 和 $M_2$）的尖锐下界，并找到了最优树。$M_1$ 在所有内部顶点度数均为 4 的树中达到最小值，而 $M_2$ 在每个“茎”顶点与 3 或 4 个悬挂顶点及一个内部顶点相连，而其余内部顶点与其他 3 个内部顶点相连的树中达到最小值。该技术被证明可推广至加权第一 Zagreb 指数、零阶广义 Randi\'{c} 指数以及许多其他基于度数的指数。随后添加了勘误：定理 3 指出，对于具有 $n\ge 8$ 个悬挂顶点的树，第二 Zagreb 指数 $M_2$ 不能小于 $11n-27$。然而，存在一个具有 $n=8$ 个顶点的树（双侧扫帚树）违反了该不等式。原因是定理 3 的证明依赖于一个 tacit 假设，即指数最小化的树不包含度数为 2 的顶点。该假设在一般情况下似乎不成立。在本勘误中，我们证明了不等式 $M_2 \ge 11n-27$ 对于具有 $n\ge 9$ 个顶点的树仍然成立，并提供了（修正后的）定理 3 的有效证明。