指数型 Hyper-Zagreb 指数与树及二部图的结构性质

本文通过拓扑指数与组合图论的视角研究树与二部图的结构性质。我们关注具有 n 个顶点和最大度 Δ 的树 T ∈ T(n, Δ) 的第一和第二 Hyper-Zagreb 指数 HM₁(G) 和 HM₂(G)。关键命题证明，若存在度至少为 3 的端支撑点或支撑点，且该点不同于最大度顶点，则意味着存在另一棵树 T' ∈ T(n, Δ)，其 Hyper-Zagreb 指数严格更小。这些结果被推广到指数形式，凸显了高度数顶点的影响。此外，我们通过度序列优化和 S-序探索了树的结构刻画，为特定类中的第一棵和最后一棵树建立了条件。对于二部图，我们研究了均匀着色、圈长和 k-冗余树嵌入，并辅以关于连通度和最小度约束的定理。本文还讨论了二部图的独立数、外部覆盖以及完全 r-部图的竞争数，提供了界和结构洞察。最后，我们讨论了用于生成具有指定度序列的二部图和竞赛图的马尔可夫链算法，分析了它们的混合时间和收敛性质。这些结果有助于理解图论中的极值性质和组合结构，并在化学图论和网络分析中具有应用。