子群生成二部图的扎格伯指数

设 $G$ 为群，$L(G)$ 为 $G$ 的所有子群的集合。由 $G$ 定义在 $G$ 上的子群生成二部图 $\mathcal{B}(G)$ 是一个二分图，其顶点集合分为两个集合 $G \times G$ 和 $L(G)$，若 $H \in L(G)$ 由 $a$ 和 $b$ 生成，则两个顶点 $(a, b) \in G \times G$ 和 $H \in L(G)$ 相邻。本文推导了 $\mathcal{B}(G)$ 第一个和第二个扎格伯指数的表达式，并得到 $\mathcal{B}(G)$ 满足汉森-维基切维奇猜想的条件[汉森，P. 和维基切维奇，D. 《比较扎格伯指数》, \emph{Croatica Chemica Acta}, \textbf{80}(2), 165-168, 2007]。我们证明，当 $G$ 为阶为 $2p, 2p^2, 4p$, $4p^2$ 和 $p^n$ 的循环群；阶为 $2p$ 和 $2p^2$ 的二面体群；以及阶为 $4p$ 和 $4p^2$ 的四循环群时，$\mathcal{B}(G)$ 满足汉森-维基切维奇猜想。在计算 $\mathcal{B}(G)$ 的扎格伯指数时，我们计算了 $L(G)$ 中所有 $H$ 的 $\deg_{\mathcal{B}(G)}(H)$。利用这些信息，我们还计算了 $\mathcal{B}(G)$ 的兰德指数、原子-键连接指数、几何-算术指数、调和指数和和-连接指数。