连通图上的双调和指数

设$G$为一个顶点集为$V(G)$的简单连通图，$d_{B}^2(u,v)$为$G$中两顶点$u$与$v$之间的双调和距离。图$G$的双调和指数$BH(G)$定义为$$BH(G)=\frac{1}{2}\sum\limits_{u\in V(G)}\sum\limits_{v\in V(G)}d_{B}^2(u,v)=n\sum\limits_{i=2}^{n}\frac{1}{\lambda_i^2(G)},$$其中$\lambda_i(G)$为具有$n$个顶点的图$G$的拉普拉斯矩阵的第$i$小特征值。本文给出了双调和指数与若干经典拓扑指数——第一Zagreb指数、遗忘拓扑指数与Kirchhoff指数——之间的数学关系。此外，给出了固定阶数的树与萤火虫图在双调和指数上的极值。最后，给出了双调和指数上的一些图运算。