BD-Index: 基于分治索引的大图上可扩展双调和距离查询

双调和距离 (\bd) 是一种强大的图距离度量，在许多应用中具有重要作用，包括识别道路网络中的关键链路以及缓解 \gnn 中的过度压缩问题。然而，计算 \bd\ 极其困难，尤其是在大规模图上。本文聚焦于 \\emph{单对} \\bd\ 查询问题。现有方法主要依赖基于随机游走的方式，在某些图上效果良好，但当随机游走无法快速混合时变得低效。为克服这一问题，我们首先证明两个节点 $s,t$ 之间的双调和距离 $b(s,t)$ 可以被解释为从 $s$ 和 $t$ 出发的两个随机游走分布之间的距离。为了估计这些分布，当底层图可以较容易地分割为更小的片段时，所需的随机游走长度会很大。受此观察的启发，我们提出了 \\bd\ 的新公式，将 $b(s,t)$ 表示为在两个节点集合 $\\mathcal{V}_s$、$\\mathcal{V}_t$ 内部独立的随机游走，这两个集合由一个较小的 \\emph{割集} $\\mathcal{V}_{cut}$ 分隔，其中 $\\mathcal{V}_s\\cup\\mathcal{V}_t\\cup\\mathcal{V}_{cut}=\\mathcal{V}$ 为图中节点的集合。基于这一思想，我们提出了 \\bindex\，一种遵循分治策略的新型索引结构。图首先被分割为多个部分，以便每个部分可以独立处理。然后，所有所需的随机游走概率可以从底到顶确定性地计算。当查询到来时，只需访问索引的一小部分。我们证明 \\bindex\ 需要 $O(n\\cdot h)$ 的空间，可以在 $O(n\\cdot h\\cdot (h+d_{max}))$ 时间内构建，并且每个查询可在 $O(n\\cdot h)$ 时间内回答，其中 $h$ 是层次划分树的高度，$d_{max}$ 是最大度数，两者通常都远小于 $n$。