具有两个最大度顶点的树的最大能量

对于简单图 $G$，其能量 $E(G)$ 定义为邻接矩阵所有特征值绝对值之和。对于 $\Delta\geq 3$ 和 $t\geq 3$，记 $T_a(\Delta,t)$（或简写为 $T_a$）为从一条 $t$ 个顶点的路径 $P_t$ 出发，在路径 $P_t$ 的两端各连接 $\Delta-1$ 个 $P_2$ 所得到的树；记 $T_b(\Delta, t)$（或简写为 $T_b$）为从 $P_{t+2}$ 出发，在 $P_{t+2}$ 的一端连接 $\Delta-1$ 个 $P_2$，并在与该端相邻的顶点上连接 $\Delta-2$ 个 $P_2$ 所得到的树。在文献 [X. Li, X. Yao, J. Zhang and I. Gutman, Maximum energy trees with two maximum degree vertices, J. Math. Chem. 45(2009), 962--973] 中，Li 等人证明了在具有两个最大度 $\Delta$ 顶点的 $n$ 阶树中，最大能量树要么是图 $T_a$，要么是图 $T_b$，其中 $t=n+4-4\Delta\geq 3$。然而，他们无法确定 $T_a$ 和 $T_b$ 中哪一个才是最大能量树，这是因为拟序方法在比较它们的能量时失效。本文采用一种新方法来确定最大能量树。结果表明情况更为复杂。我们证明：当 $\Delta\geq 7$ 且任意 $t\geq 3$ 时，最大能量树是 $T_b$；当 $\Delta=3$ 且任意 $t\geq 3$ 时，最大能量树是 $T_a$。此外，对于 $\Delta=4$，除 $t=4$ 时 $T_b$ 为最大能量树外，所有 $t\geq 3$ 时最大能量树均为 $T_a$。对于 $\Delta=5$，除 $t$ 为奇数且 $3\leq t\leq 89$ 时 $T_a$ 为最大能量树外，所有 $t\geq 3$ 时最大能量树均为 $T_b$。对于 $\Delta=6$，除 $t=3,5,7$ 时 $T_a$ 为最大能量树外，所有 $t\geq 3$ 时最大能量树均为 $T_b$。可以看出，对于大多数 $\Delta$，$T_b$ 是最大能量树，$\Delta=5$ 是一个转折点，而 $\Delta=3$ 和 $4$ 是例外情况。