具有最小增广 Zagreb 指数的 $k$-顶点树

对于至少有三个顶点的连通图 $G$，其增广 Zagreb 指数（AZI）定义为 $$AZI(G)=\sum_{uv\in E(G)}\left(\frac{d(u)d(v)}{d(u)+d(v)-2}\right)^{3},$$ 它是一种与庚烷和辛烷生成热高度相关的拓扑指数。一个 $k$-顶点树 $G$ 是指一个连通图，存在 $k$ 元子集 $X\subset V(G)$ 使得 $G-X$ 为一棵树，而对任意基数小于 $k$ 的 $S\subset V(G)$，$G-S$ 不是树。通过研究 $k$-顶点树的一些结构性质，我们确定了在 $n$ 个顶点上所有 $k$-顶点树中使 AZI 最小的图，其中 $k\ge 4$ 且 $n\ge 3(k+1)$。后者解决了 [K. Cheng, M. Liu, F. Belardo, {\em Appl. Math. Comput.}, {\bf402} (2021), 126139] 中提出的一个公开问题。