关于 σ_t-不规则性的若干结果

σ_t-不规则性（或 sigma 总指数）是一个图不变量，定义为 $\sigma_t(G) = \sum_{\{u,v\} \subseteq V(G)} (d(u)-d(v))^2$，其中 $d(z)$ 表示 $z$ 的度。该不规则性度量由 Réti 提出 [Appl. Math. Comput. 344-345 (2019) 107-115]，最近由 Dimitrov 和 Stevanović 重新发现 [Appl. Math. Comput. 441 (2023) 127709]。在本文中我们指出 $\sigma_t(G) = n^2 \cdot \mathrm{Var}(G)$，其中 $\mathrm{Var}(G)$ 是图的度方差。基于这一观察，我们刻画了具有最大 σ_t-不规则性的不规则图。我们证明，在所有 $n$ 个顶点的连通图中，完全分裂图 $S_{\lceil n/4 \rceil, \lfloor 3n/4 \rfloor}$ 和 $S_{\lfloor n/4 \rfloor, \lceil 3n/4 \rceil}$ 具有最大的 σ_t-不规则性，在所有 $n$ 个顶点的完全二部图中，完全二部图 $K_{\lfloor n/4(2-\sqrt{2}) \rfloor, \lceil n/4(2+\sqrt{2}) \rceil}$ 或 $K_{\lceil n/4(2-\sqrt{2}) \rceil, \lfloor n/4(2+\sqrt{2}) \rfloor}$ 具有最大的 sigma 总指数。此外，我们提供了 σ_t-不规则性的各种上界和下界；在这一方向上，我们给出了图能量 $\mathcal{E}(G)$ 与 sigma 总指数 $\sigma_t(G)$ 之间的关系，并给出了 Dimitrov 和 Stevanović 两个结果的另一个证明。利用 Fiedler 对图中最大和第二小拉普拉斯特征值的刻画，我们还建立了 σ_t 与 σ 之间的新关系。我们以两个猜想结束本文。