满足度界约束的图的不规则性

Albertson 将图 $G$ 的不规则性定义为 $irr(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)}|d_G(u)-d_G(v)|$。对于具有 $n$ 个顶点、$m$ 条边、最大度 $\Delta$ 以及 $d=\left\lfloor \frac{\Delta m}{\Delta n-m}\right\rfloor$ 的图 $G$，我们证明 $$irr(G)\leq d(d+1)n+\frac{1}{\Delta}\left(\Delta^2-(2d+1)\Delta-d^2-d\right)m.$$