图的不规则度的界与计算

Albertson 将简单无向图 $G=(V,E)$ 的不规则度定义为 $\irr(G) = \sum_{uv\in E}|d_G(u)-d_G(v)|,$ 其中 $d_G(u)$ 表示顶点 $u \in V$ 的度。最近，该图不变量在化学图论中引起了关注，它出现在第一和第二 Zagreb 指数的一些界中，并被 Fath-Tabar 命名为第三 Zagreb 指数。对于具有 $n$ 个顶点的一般图，Albertson 获得了 $4 n^3 /27$ 的渐近紧上界。在此，通过利用不同于 Albertson 的方法，我们证明了对于具有 $n$ 个顶点的一般图，上界 $\lfloor \frac{n}{3} \rfloor \lceil \frac{2 n}{3} \rceil (\lceil \frac{2 n}{3} \rceil -1)$ 是紧的。接下来，我们确定了具有最大不规则度的 $k$-循环图。我们还给出了具有固定最小和/或最大顶点度的图的最大/最小不规则度的一些界，并考虑了图不规则度的近似计算。