给定度序列树的阿尔伯森指数的下界与上界

本文提出了树形图阿尔伯森指数的新型尖锐下界与上界，揭示了度序列与图不规则性之间的深层联系，其中 caterpillar 树的阿尔伯森指数满足：$$\operatorname{irr}(G)=\left( {{d_n} - 1} \right)^2 + \left( {d_1 - 1} \right)^2 + \sum\limits_{i = 2}^{n - 1} {\left( {{d_i} - 1} \right)\left( {{d_i} - 2} \right)} +\sum_{i=1}^{n-1}|d_i-d_{i+1}|.$$ 我们推导出精确刻画阿尔伯森指数最小值为和最大值的强有力不等式，涉及顶点度、边数以及度序列中元素平均值 $\mathscr{D}=(d_1,d_2,\dots,d_n)$ 的复杂依赖关系，其中 $d_n\geqslant d_{n-1}\geqslant \dots\geqslant d_2\geqslant d_1$。这些结果不仅改进了现有的极值下界，还揭示了树结构与其不规则性度量之间的惊人关系。这些进展为图论中不规则性分析和度基拓扑指数的研究开辟了新的研究方向。