关于$L_{\infty}$度量下树的SIG维数

我们研究了$L_{\infty}$度量下树的$SIG$维数，并回答了Michael和Quint提出的一个开放问题(Discrete Applied Mathematics: 127, pages 447-460, 2003)。设$T$是一棵至少有两个顶点的树。对于每个$v\in V(T)$，令leaf-degree$(v)$表示$v$的叶子邻居的数量。我们将最大叶子度数定义为$\alpha(T) = \max_{x \in V(T)}$ leaf-degree$(x)$。设$S = \{v\in V(T) |$ leaf-degree$(v) = \alpha\}$。如果$|S| = 1$，我们定义$\beta(T) = \alpha(T) - 1$。否则定义$\beta(T) = \alpha(T)$。我们证明，对于一棵树$T$，$SIG_\infty(T) = \lceil \log_2(\beta + 2)\rceil$，其中$\beta = \beta (T)$，前提是$\beta$不是形如$2^k - 1$的数，其中$k \geq 1$为正整数。如果$\beta = 2^k - 1$，则$SIG_\infty (T) \in \{k, k+1\}$。我们证明这两个值都是可能的。