树中局部均值与局部密度的极值
组合数学
2023-06-26 v1
摘要
给定一棵树T，可将某子树S处的局部均值定义为包含S的子树的平均阶。自然要问：在所有同阶子树中，哪个阶为k的子树取得了极大/极小局部均值，以及它具有什么性质。我们称此类子树为k-极大子树。Wagner与Wang于2016年证明1-极大子树是度为1或2的顶点。本文证明对任意整数k = 1, . . . , |T|，k-极大子树至多有一个度大于2的叶，且至少有一个度至多为2的叶。进一步，我们证明k-极大子树仅当其所有其他叶也是T中的叶时，才具有度大于2的叶。在第二部分，本文引入局部密度作为局部均值的归一化，以比较不同阶的子树，并证明子树S处的局部密度下界为1/2，且等号成立当且仅当S包含T的核心。另一方面，局部密度可任意接近1。
引用
@article{arxiv.2306.13422,
title = {Extrema of local mean and local density in a tree},
author = {Ruoyu Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2306.13422},
year = {2023}
}